Какие темы 7 класса обязательно понадобятся в 9-м
Из всего седьмого класса к девятому по-настоящему нужны три темы. Формулы сокращённого умножения, линейная функция, признаки равенства треугольников. Спрашивают их не чаще остальных — просто на них держится немалая часть тем восьмого и девятого класса.
Что держится на формулах сокращённого умножения
Запись «(x + 4)² = x² + 16» встречается в тетрадях восьмиклассников регулярно. Ученик помнит, что квадрат — про возведение в квадрат, и возводит в квадрат каждое слагаемое по отдельности. Формулу он при этом даже может назвать вслух. Дело не в памяти. За строчкой «квадрат суммы равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго» у него не стоит ни одной картинки.
Картинку тут даёт площадь. Квадрат со стороной x + 4 разрезают двумя линиями на четыре части (лист в клетку для этого удобнее чистого), и получается квадрат x на x, два одинаковых прямоугольника 4 на x и маленький квадратик 4 на 4. Сумма площадей — x² + 4x + 4x + 16. Удвоенное произведение, которое дети теряют, лежит вот в этих двух прямоугольниках по краям. Методисты его не выдумывали. Ученику, который однажды нарисовал этот квадрат, есть куда вернуться, когда формула вылетела из головы.
Дальше начинается собственно польза. Разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b) в восьмом классе перестаёт быть отдельным заданием и уходит внутрь других. Без неё не сокращается дробь (x² − 9) / (x + 3), не упрощается выражение с корнями вроде (√7 − 2)(√7 + 2), не раскладывается на множители левая часть уравнения. А выделение полного квадрата, из которого выводится формула корней квадратного уравнения, целиком построено на квадрате суммы. Ученик, у которого эти формулы не автоматические, каждый раз честно считает дискриминант — и упирается там, где уравнения нет вовсе: в дроби, которую надо сократить, или в выражении под корнем.
Линейная функция и два числа, которые задают весь график
В записи y = kx + b всего два числа, и каждое отвечает за своё. Число b показывает, на какой высоте прямая пересекает вертикальную ось. При x = 0 от всего выражения остаётся одно b. Число k показывает, на сколько меняется y, когда x увеличивается на единицу. Сдвинулись на клетку вправо — поднялись на k вверх. Если k отрицательное, «вверх» превращается в «вниз», и прямая идёт под уклон. Вот, собственно, и всё содержание темы, которую в седьмом классе многие сводят к заполнению таблицы из десяти пар чисел.
Таблица из десяти точек, кстати, и есть главный признак того, что ученик не понял, зачем ему k и b. Через две точки проходит ровно одна прямая, значит двух и достаточно: посчитали y при x = 0, посчитали при x = 1, соединили по линейке. Восьмиклассник, который строит прямую по двум точкам за полминуты, к девятому классу читает графики в текстовых задачах спокойно. Тот, кто каждый раз чертит таблицу, тратит на один график столько времени, что до второй части работы просто не доходит.
А в восьмом и девятом классах на эту тему опирается многое, и не всё из этого очевидно. Графический способ решения систем уравнений сводится к двум прямым и точке их пересечения. Две разные прямые параллельны тогда, когда у них одно и то же k. Арифметическая прогрессия меняется на одну и ту же величину с каждым шагом, то есть ведёт себя ровно так же, как y = kx + b, только вместо x стоит номер члена. Даже парабола в девятом классе разбирается через сдвиги графика, а привычка к ним нарабатывается на прямой.
Откуда слово «угловой»
Коэффициент k называют угловым, потому что он связан с углом между прямой и горизонтальной осью: чем больше k по модулю, тем круче прямая. Сам угол в задачах седьмого-девятого классов обычно не измеряют, но название остаётся. Ученик, который в седьмом классе пропустил это слово мимо ушей, в девятом теряется на пустом месте, когда оно возвращается без пояснений.
Признаки равенства треугольников и умение доказывать
Их три. По двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим к ней углам; по трём сторонам. Формулировки короткие, выучиваются за вечер, и именно поэтому их часто так и учат наизусть, без разбора того, где в них подвох.
Подвох в первом признаке, в словах «между ними». Их теряют постоянно. Два отрезка одинаковой длины и угол, который лежит не между ними, а напротив одного из них, дают разные треугольники, и второй ничем не хуже первого. Поэтому «две стороны и какой-нибудь угол» признаком не считается. «Две стороны и угол между ними» — считается. Разницу эту проговаривают вслух за минуту, а всплывает она в девятом классе, когда в условии подворачивается угол не на том месте.
Сами по себе три признака в восьмом и девятом классах почти не спрашивают в лоб. Зато на них доказывается вся остальная геометрия. Свойства параллелограмма получаются из того, что диагональ делит его на два равных треугольника; тем же ходом получаются свойства равнобедренного треугольника. Задачи с окружностью решаются через равенство треугольников с общей стороной. Следом, в конце восьмого класса или в девятом, поверх этого ложится подобие, где признаки устроены по той же схеме, только вместо равенства сторон стоит их пропорция, а один и вовсе обходится двумя углами. Не разобравшись с равенством, ученик получает подобие как набор букв, за которым ничего не стоит.
| Тема седьмого класса | Где обычно всплывает в восьмом | Где обычно всплывает в девятом |
|---|---|---|
| Формулы сокращённого умножения | Сокращение алгебраических дробей, выделение полного квадрата, действия с корнями | Разложение на множители при решении уравнений и неравенств, упрощение выражений |
| Линейная функция | Линейные неравенства, чтение и построение графиков | Системы уравнений, графики в текстовых задачах, арифметическая прогрессия |
| Признаки равенства треугольников | Доказательства свойств параллелограмма и равнобедренного треугольника, задачи с окружностью | Подобие треугольников (в части учебников оно начинается уже в восьмом), задачи на доказательство во второй части работы |
Почему пробел из седьмого класса не виден до девятого
В восьмом классе пробел легко не заметить. Претензий к школе тут нет: так устроен любой учебник. Задание стоит в параграфе с названием темы. Над ним написано «Разложение на множители», значит раскладывать на множители, и половина работы уже сделана за ученика. В некоторых классах формулу ещё и выписывают на доске перед самостоятельной. Ошибиться в таких условиях трудно даже тому, кто помнит тему смутно.
Второе, что выручает, — обходные пути. Квадратное уравнение решается через дискриминант всегда, и восьмиклассник, у которого не идёт разложение на множители, честно считает дискриминант в каждой задаче. Оценка выходит нормальная. Пробел никуда не девается, просто перестаёт быть заметным до того дня, когда попадётся дробь, которую надо сократить, или выражение, которое надо упростить до подстановки чисел.
На экзамене девятого класса ни того ни другого не остаётся. Заголовка над задачей нет, соседняя задача из другой темы, формулу никто не напоминает, и времени в обрез. Ученик читает условие и не понимает, с какой стороны к нему подойти. Материал девятого класса он знает. Просто разность квадратов в выражении не узнаётся.
Четвертная оценка и экзамен считают по-разному
Оценка за четверть в восьмом классе складывается из многих работ, и одна проваленная тема в ней растворяется. Экзамен же берёт каждую тему по отдельности и без предупреждения, в каком виде она придёт.
Торопится или не знает: как это различают
«Он просто торопится» — объяснение, к которому взрослые приходят раньше остальных и от которого потом трудно отказаться.
Иногда оно и верное. Девятиклассник действительно может знать формулу и при этом терять знак или пропускать удвоенное произведение, когда решает на скорость.
Сложность в том, что по тетради спешка и пробел выглядят одинаково. И там, и там верный ответ через раз, и там, и там ошибки в одном и том же месте. Различить их на глаз почти невозможно, и родитель, который считает исправления в тетради, ошибается в обе стороны одинаково легко.
Разница проступает в другом. Покажите на строку с ошибкой, не называя саму ошибку — «здесь что-то не сходится». Ученик, который торопился, найдёт ошибку сам за несколько секунд и часто ещё и посмеётся. Ученик, который формулы не помнит, в строке ничего не увидит, пока ему не продиктуют формулу. Дальше это видно по следующей работе. То, что ученик нашёл сам, он и в ней находит сам, а продиктованное чужим голосом повторяется той же самой записью.
Сын в девятом, репетитор третий месяц. Сидим над пробником, задача на упрощение. Он говорит: я не понимаю, что тут вообще делать. Смотрю — там разность квадратов, седьмой класс. Я просто села.
Проверка на пятнадцать минут за кухонным столом
Шесть заданий ниже родители дают дома, чтобы понять, какие темы стоят твёрдо, а где пусто. Оценки за них не ставят и время не засекают, а ответ разбирают вслух. Смысл в том, чтобы услышать, как ученик рассуждает.
Раскрыть (x + 4)²
В ответе должно стоять x² + 8x + 16. Потерянное 8x говорит о том, что формула запоминалась наизусть и уже забылась.
Разложить на множители x² − 49
Ответ (x − 7)(x + 7). Заминка тут означает, что разность квадратов не узнаётся в лицо и всплывает только по названию параграфа.
Сократить дробь (a² − b²) / (a + b)
Останется a − b. Задание проверяет умение применить формулу там, где о ней никто не просил.
Построить график y = −2x + 3
Смотреть стоит на способ. Две точки и линейка означают, что тема понята. Таблица из десяти значений — механика без смысла.
Сказать, где прямая y = 3x − 5 пересекает вертикальную ось
Ответ в точке (0; −5), и получается он подстановкой нуля вместо x. Если ученик тянется чертить, роль коэффициента b осталась непонятой.
Назвать три признака равенства треугольников
Формулировки тут — половина дела, а вторая половина в дополнительном вопросе. Почему в первом признаке угол берут именно между сторонами? Ответа «так в учебнике» тут мало, и по тому, как ученик выкручивается из этого вопроса, обычно понятно куда больше, чем по трём заученным строчкам.
Заминка на одном-двух заданиях из шести случается даже у сильного ученика: темы двухлетней давности забываются у всех. Смотрят на другое — остаётся ли пробел на месте после того, как формулу проговорили и разобрали пример.
В каком порядке эти темы обычно догоняют
Порядок определяется тем, что во что входит. Формулы сокращённого умножения берут первыми. Они сидят внутри квадратных уравнений, дробей и действий с корнями, так что подтягивать квадратные уравнения раньше них — работа вхолостую: ученик упрётся в ту же формулу через две задачи. Линейная функция идёт следующей, без неё не читаются графики, а графики в девятом классе встречаются и в алгебре, и в текстовых задачах. Геометрию ведут параллельно, отдельной линией, потому что на алгебру она почти не опирается.
Второй ориентир — не начинать с вариантов экзамена. Сборник заданий показывает, что не решается, но не учит тому, что не выучено. Ученик за вечер натыкается на пять разных пробелов сразу и к концу вечера не продвигается ни в одном. Одна тема до устойчивого результата, потом следующая. На бумаге медленнее, на деле нередко быстрее.
Толстый сборник и карандаш на обложке
Девятикласснику купили сборник вариантов — толстый, страниц на четыреста — и договорились: по варианту в день, до весны. Первую неделю он держался и вычёркивал номера карандашом прямо на обложке, родители были довольны. Потом выяснилось, что вычёркивает он их полностью, а решает в каждом примерно половину, и половина эта из раза в раз одна и та же. Оставшиеся задачи он аккуратно пропускал и шёл дальше.
Цель на ближайшие недели удобнее ставить не оценкой. Оценка придёт или не придёт: она зависит и от учителя, и от того, какой выдался день. А «раскрывает квадрат суммы не задумываясь» или «строит прямую по двум точкам, не рисуя таблицу» — результат, который видно сразу и который либо есть, либо его нет.
Девятиклассник, который за пять секунд превращает x² − 49 в произведение, экономит вовсе не пять секунд. Он экономит те минуты, которые иначе уйдут на длинный путь к тому же ответу, и то место в голове, которое иначе будет занято попыткой вспомнить формулу вместо того, чтобы думать над задачей.
