Интерактивный тренажер по математике. 5 класс (10–11 лет).
Изучение закономерностей движения — важный раздел математики. В данном разделе представлены развивающие задания, направленные на отработку вычисления средней скорости при неравномерном движении. Главное правило гласит: чтобы найти среднюю скорость, необходимо весь пройденный путь разделить на всё затраченное время, обязательно включая время остановок.
Распространённой неточностью при решении является попытка вычислить среднее арифметическое скоростей на разных участках. Этот тренажёр по математике формирует корректный алгоритм рассуждений и помогает избежать подобных ошибок. Задачи на многоэтапное движение могут встречаться в ВПР по математике, поэтому глубокое понимание принципа деления общего расстояния на общее время будет весьма полезно.
Прочитайте задачу о движении поезда по двум разным участкам пути. Выберите математическое выражение, которое правильно отражает логику нахождения средней скорости на всём маршруте.
Скорый поезд отправился из одного города в другой. Первую часть пути длиной 120 км он промчался по ровной магистрали со скоростью 60 км/ч. Затем началась старая извилистая дорога, и следующие 120 км машинисту пришлось вести состав со скоростью 40 км/ч.
Какое выражение верно рассчитает среднюю скорость поезда на всём пути?
Средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей!
Средняя скорость — это весь пройденный путь, разделённый на всё время движения.
\( V_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} \)
Сначала найдите общее расстояние. Затем вычислите, сколько времени поезд потратил на каждый участок пути в отдельности, и сложите это время. Не путайте среднюю скорость со средним арифметическим!
Внимательно прочитайте условие задачи на движение. Другой ученик уже попытался её решить, но допустил грубые ошибки, так как перепутал среднюю скорость со средним арифметическим. Найдите ошибки в его вычислениях и исправьте их. Будьте осторожны: некоторые значения вычислены правильно, их менять не нужно!
Ученик решил задачу и записал ответы. Проверьте его вычисления и исправьте ошибки. Верные ответы менять не нужно!
Вы не попались в ловушку со средним арифметическим. Вычисления верны:
1. Путь: \( 12 \times 3 + 24 \times 1 = 36 + 24 = 60 \) км.
2. Время: \( 3 + 1 = 4 \) ч.
3. Средняя скорость: \( 60 : 4 = 15 \) км/ч.
Формула средней скорости:
Алгоритм решения:
Прочитайте сюжетную задачу о туристическом походе. Вычислите среднюю скорость движения группы на всём маршруте. Будьте внимательны при подсчёте общего времени в пути.
Группа юных исследователей отправилась в поход к Лесному водопаду.
Сначала они шли по широкой равнинной тропе 2 часа со скоростью 5 км/ч. Устав, ребята устроили привал на 1 час, чтобы перекусить и отдохнуть.
После привала начался подъём в гору, поэтому оставшиеся 2 часа туристы двигались со скоростью 4 км/ч.
1. Найдём весь пройденный путь:
Путь до привала: 2 · 5 = 10 км.
Путь после привала: 2 · 4 = 8 км.
Весь путь: 10 + 8 = 18 км.
2. Найдём всё время в пути (включая привал):
2 ч (ходьба) + 1 ч (привал) + 2 ч (ходьба) = 5 часов.
3. Вычислим среднюю скорость:
Vср = 18 ÷ 5 = 3,6 км/ч.
Чтобы найти среднюю скорость на всём пути, нужно ВЕСЬ пройденный путь разделить на ВСЁ время движения.
Важное правило: Время стоянок, привалов и остановок обязательно включается в общее время, так как в это время маршрут продолжается, просто скорость равна нулю.
Автомобиль ехал 2 часа со скоростью 70 км/ч, а затем 3 часа со скоростью 90 км/ч. Соберите выражение для вычисления средней скорости автомобиля на всём пути, перетащив карточки в пустые ячейки. Некоторые карточки лишние — их использовать не нужно.
Весь путь состоит из двух участков: \( 2 \cdot 70 \) км и \( 3 \cdot 90 \) км.
Всё время в пути: \( 2 + 3 \) ч.
Формула средней скорости: \( v_{\text{ср}} = \frac{2 \cdot 70 + 3 \cdot 90}{2 + 3} \).
Подсказка:
Средняя скорость равна всему пройденному пути, делённому на всё время движения:
\( v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}} \)
1. Найдите выражения для пути на каждом из двух участков (путь = скорость × время).
2. Найдите выражение для общего времени.
Пошаговый тренажёр по вычислению средней скорости движения. Решите задачу, последовательно отвечая на вопросы. Будьте внимательны: средняя скорость не всегда равна среднему арифметическому скоростей на участках пути!
На графике показана зависимость пройденного пути от времени. Ваша задача — спланировать маршрут так, чтобы итоговая средняя скорость на всём пути в точности совпала с целевой. Обязательное условие: в пути должна быть остановка. Меняйте время и расстояние для каждого участка маршрута с помощью ползунков. Обратите внимание, как время остановки влияет на наклон итоговой пунктирной линии.